初级微积分示例

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

解题步骤 1

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $e^{- x}$ 重写为乘方形式。

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u + 100 u^{- 1} = 20$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

解题步骤 3.3.2

组合 $100$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + \frac{100}{u} = 20$

解题步骤 3.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 3.4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 3.4.2

将 $u + \frac{100}{u} = 20$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $u + \frac{100}{u} = 20$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + 100 = 20 u$

解题步骤 3.4.3

求解方程。

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解题步骤 3.4.3.1

从等式两边同时减去 $20 u$ 。

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

解题步骤 3.4.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.4.3.2.1

重新整理项。

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

解题步骤 3.4.3.2.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

解题步骤 3.4.3.2.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

解题步骤 3.4.3.2.4

重写多项式。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

解题步骤 3.4.3.2.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 10$ 。

${(u - 10)}^{2} = 0$

解题步骤 3.4.3.3

将 $u - 10$ 设为等于 $0$ 。

$u - 10 = 0$

解题步骤 3.4.3.4

在等式两边都加上 $10$ 。

$u = 10$

解题步骤 3.5

代入 $10$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$10 = e^{x}$

解题步骤 3.6

求解 $10 = e^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $e^{x} = 10$ 。

$e^{x} = 10$

解题步骤 3.6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

解题步骤 3.6.3

展开左边。

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解题步骤 3.6.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (10)$

解题步骤 3.6.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (10)$

解题步骤 3.6.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (10)$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (10)$

小数形式：

$x = 2.30258509 \dots$

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