初级微积分示例

${(x - 5)}^{2} = 16 (y + 1)$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $16 (y + 1) = {(x - 5)}^{2}$ 。

$16 (y + 1) = {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1.2

将 $16 (y + 1) = {(x - 5)}^{2}$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $16 (y + 1) = {(x - 5)}^{2}$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 (y + 1)}{16} = \frac{{(x - 5)}^{2}}{16}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 (y + 1)}{16} = \frac{{(x - 5)}^{2}}{16}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y + 1$ 除以 $1$ 。

$y + 1 = \frac{{(x - 5)}^{2}}{16}$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \frac{{(x - 5)}^{2}}{16} - 1$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

重新排序项。

$y = \frac{1}{16} \cdot {(x - 5)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{1}{16} \cdot {(x - 5)}^{2} - 1$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

将 ${(x - 5)}^{2}$ 重写为 $(x - 5) (x - 5)$ 。

$\frac{1}{16} \cdot ((x - 5) (x - 5)) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{16} \cdot (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{16} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.2

从 $- 5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{1}{16} \cdot (x^{2} - 10 x + 25) - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

运用分配律。

$\frac{1}{16} x^{2} + \frac{1}{16} (- 10 x) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.1.5.1

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{16} (- 10 x) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.5.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (- 10 x) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (2 (- 5 x)) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2.3

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} (2 (- 5 x)) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{8} (- 5 x) + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 5}{8} x + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.4

组合 $\frac{- 5}{8}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 5 x}{8} + \frac{1}{16} \cdot 25 - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.5

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $25$ 。

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{- 5 x}{8} + \frac{25}{16} - 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{25}{16} - 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{25}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 2.1.2.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{25}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

解题步骤 2.1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{25 - 1 \cdot 16}{16}$

解题步骤 2.1.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{25 - 16}{16}$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{5 x}{8} + \frac{9}{16}$

解题步骤 2.1.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{16}$

$b = - \frac{5}{8}$

$c = \frac{9}{16}$

解题步骤 2.1.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- \frac{5}{8}}{2 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.3

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.4.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.4.2.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.3.2.2

约去公因数。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.3.2.3

重写表达式。

$d = - \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

解题步骤 2.1.2.4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$d = - \frac{5}{8} (1 \cdot 8)$

解题步骤 2.1.2.4.2.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.4.2.5.1

将 $- \frac{5}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$d = \frac{- 5}{8} (1 \cdot 8)$

解题步骤 2.1.2.4.2.5.2

从 $1 \cdot 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$d = \frac{- 5}{8} (8 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.4.2.5.3

约去公因数。

$d = \frac{- 5}{8} (8 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.4.2.5.4

重写表达式。

$d = - 5$

解题步骤 2.1.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{9}{16} - \frac{{(- \frac{5}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.1

对 $- \frac{5}{8}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{9}{16} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{9}{16} - \frac{1 {(\frac{5}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.3

对 $\frac{5}{8}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{9}{16} - \frac{1 \frac{5^{2}}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{9}{16} - \frac{1 \frac{25}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{9}{16} - \frac{1 (\frac{25}{64})}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.1.6

将 $\frac{25}{64}$ 乘以 $1$ 。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{4 (\frac{1}{16})}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{\frac{4}{16}}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.3

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{\frac{4 (1)}{16}}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = \frac{9}{16} - \frac{\frac{25}{64}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = \frac{9}{16} - (\frac{25}{64} \cdot 4)$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.5.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{9}{16} - (\frac{25}{4 (16)} \cdot 4)$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.5.2

约去公因数。

$e = \frac{9}{16} - (\frac{25}{4 \cdot 16} \cdot 4)$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.5.3

重写表达式。

$e = \frac{9}{16} - \frac{25}{16}$

解题步骤 2.1.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{9 - 25}{16}$

解题步骤 2.1.2.5.2.3

从 $9$ 中减去 $25$ 。

$e = \frac{- 16}{16}$

解题步骤 2.1.2.5.2.4

用 $- 16$ 除以 $16$ 。

$e = - 1$

解题步骤 2.1.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{16} {(x - 5)}^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{16} {(x - 5)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = \frac{1}{16} \cdot {(x - 5)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{16}$

$h = 5$

$k = - 1$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(5, - 1)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{16}}$

解题步骤 2.5.3.2

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

解题步骤 2.5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 2.5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 2.5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2.5.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 \cdot 4$

解题步骤 2.5.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(5, 3)$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 5$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - 5$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(5, - 1)$

焦点： $(5, 3)$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - 5$

方向：开口向上

顶点： $(5, - 1)$

焦点： $(5, 3)$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - 5$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{((4) - 1) ((4) - 9)}{16}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (4) = \frac{3 (4 - 9)}{16}$

解题步骤 3.2.1.2

从 $4$ 中减去 $9$ 。

$f (4) = \frac{3 \cdot - 5}{16}$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f (4) = \frac{- 15}{16}$

解题步骤 3.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{15}{16}$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $- \frac{15}{16}$ 。

$- \frac{15}{16}$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $- \frac{15}{16}$ 。

$y = - \frac{15}{16}$

解题步骤 3.4

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{((3) - 1) ((3) - 9)}{16}$

解题步骤 3.5

化简结果。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \frac{2 (3 - 9)}{16}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $3$ 中减去 $9$ 。

$f (3) = \frac{2 \cdot - 6}{16}$

解题步骤 3.5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f (3) = \frac{- 12}{16}$

解题步骤 3.5.2.2

约去 $- 12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (3) = \frac{4 (- 3)}{16}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (3) = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.2.2.2.3

重写表达式。

$f (3) = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (3) = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3.5.3

最终答案为 $- \frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 3.6

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- \frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3.7

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \frac{((6) - 1) ((6) - 9)}{16}$

解题步骤 3.8

化简结果。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f (6) = \frac{5 (6 - 9)}{16}$

解题步骤 3.8.1.2

从 $6$ 中减去 $9$ 。

$f (6) = \frac{5 \cdot - 3}{16}$

解题步骤 3.8.2

化简表达式。

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解题步骤 3.8.2.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$f (6) = \frac{- 15}{16}$

解题步骤 3.8.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (6) = - \frac{15}{16}$

解题步骤 3.8.3

最终答案为 $- \frac{15}{16}$ 。

$- \frac{15}{16}$

解题步骤 3.9

$y$ 在 $x = 6$ 处的值为 $- \frac{15}{16}$ 。

$y = - \frac{15}{16}$

解题步骤 3.10

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = \frac{((7) - 1) ((7) - 9)}{16}$

解题步骤 3.11

化简结果。

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解题步骤 3.11.1

化简分子。

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解题步骤 3.11.1.1

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$f (7) = \frac{6 (7 - 9)}{16}$

解题步骤 3.11.1.2

从 $7$ 中减去 $9$ 。

$f (7) = \frac{6 \cdot - 2}{16}$

解题步骤 3.11.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.11.2.1

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$f (7) = \frac{- 12}{16}$

解题步骤 3.11.2.2

约去 $- 12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (7) = \frac{4 (- 3)}{16}$

解题步骤 3.11.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.2.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (7) = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.11.2.2.2.2

约去公因数。

$f (7) = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.11.2.2.2.3

重写表达式。

$f (7) = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 3.11.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (7) = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3.11.3

最终答案为 $- \frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 3.12

$y$ 在 $x = 7$ 处的值为 $- \frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - \frac{3}{4} \\ 4 & - \frac{15}{16} \\ 5 & - 1 \\ 6 & - \frac{15}{16} \\ 7 & - \frac{3}{4} \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(5, - 1)$

焦点： $(5, 3)$

对称轴： $x = 5$

准线： $y = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - \frac{3}{4} \\ 4 & - \frac{15}{16} \\ 5 & - 1 \\ 6 & - \frac{15}{16} \\ 7 & - \frac{3}{4} \end{array}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例