初级微积分示例

$\log (\sqrt{\frac{x^{9} + 7}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}})$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{9} + 7}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}$ 重写为 ${(\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}})}^{2} \frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $x^{9} + 7$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}}})$

解题步骤 1.2

从 $(x^{8} + 5) {(x^{5} - 10)}^{4}$ 中因式分解出完全幂数 ${({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2}$ 。

$\log (\sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{{({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2} ({(x^{4})}^{2} + 5)}})$

解题步骤 1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{9} + 7)}{{({(x^{5} - 10)}^{2})}^{2} ({(x^{4})}^{2} + 5)}$ 。

$\log (\sqrt{{(\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}})}^{2} \frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}})$

解题步骤 2

从根式下提出各项。

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{{(x^{4})}^{2} + 5}})$

解题步骤 3

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{4 \cdot 2} + 5}})$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{8} + 5}})$

解题步骤 4

将 $\sqrt{\frac{x^{9} + 7}{x^{8} + 5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ 。

$\log (\frac{1}{{(x^{5} - 10)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{\sqrt{x^{8} + 5}})$

解题步骤 5

合并。

$\log (\frac{1 \sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}})$

解题步骤 6

将 $\sqrt{x^{9} + 7}$ 乘以 $1$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}})$

解题步骤 7

将 $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}} \cdot \frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}})$

解题步骤 8

合并和化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{\sqrt{x^{9} + 7}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{8} + 5}}{\sqrt{x^{8} + 5}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} \sqrt{x^{8} + 5} \sqrt{x^{8} + 5}})$

解题步骤 8.2

移动 $\sqrt{x^{8} + 5}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (\sqrt{x^{8} + 5} \sqrt{x^{8} + 5})})$

解题步骤 8.3

对 $\sqrt{x^{8} + 5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} ({\sqrt{x^{8} + 5}}^{1} \sqrt{x^{8} + 5})})$

解题步骤 8.4

对 $\sqrt{x^{8} + 5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} ({\sqrt{x^{8} + 5}}^{1} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{1})})$

解题步骤 8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {\sqrt{x^{8} + 5}}^{2}})$

解题步骤 8.7

将 ${\sqrt{x^{8} + 5}}^{2}$ 重写为 $x^{8} + 5$ 。

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解题步骤 8.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{8} + 5}$ 重写成 ${(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {({(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 8.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 8.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 8.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.4.1

约去公因数。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 8.7.4.2

重写表达式。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} {(x^{8} + 5)}^{1}})$

解题步骤 8.7.5

化简。

$\log (\frac{\sqrt{x^{9} + 7} \sqrt{x^{8} + 5}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (x^{8} + 5)})$

解题步骤 9

使用根数乘积法则进行合并。

$\log (\frac{\sqrt{(x^{9} + 7) (x^{8} + 5)}}{{(x^{5} - 10)}^{2} (x^{8} + 5)})$

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