初级微积分示例

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x}{2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4 \cdot \frac{2 x}{2 x}}$

解题步骤 1.2

组合 $4$ 和 $\frac{2 x}{2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + \frac{4 (2 x)}{2 x}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 4 (2 x)}{2 x}}$

解题步骤 2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$

解题步骤 3

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 3.1

将 ${(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ 和 $\ln (1 - 3 x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{2 x}}$

解题步骤 4.3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 8 x \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.5

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.10.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10.3

将 $\ln (1 - 3 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.2.10.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + 8 x$ 且 $g (x) = \ln (1 - 3 x)$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d x} [\ln (1 - 3 x)] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - 3 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 3 x$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.3.3

使用 $1 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.4

根据加法法则， $1 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \cdot - 3 \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{1 - 3 x}$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{- 3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.9

将负号移到分数的前面。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \cdot 1 + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.11

将 $1 + 8 x$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} \cdot (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.12

根据加法法则， $1 + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.15

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.17

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.18

将 $8$ 移到 $\ln (1 - 3 x)$ 的左侧。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + 8 \cdot \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.19

重新排序项。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 5.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

解题步骤 5.4

将 $- (1 + 8 x)$ 乘以 $\frac{3}{1 - 3 x}$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

解题步骤 5.5

合并项。

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解题步骤 5.5.1

要将 $8 \ln (1 - 3 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - 3 x}{1 - 3 x}$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + \frac{8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

解题步骤 5.5.2

在公分母上合并分子。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

解题步骤 5.6

用 $\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} 1 + 8 x + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.6

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.9

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.11

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.12

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.15

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

解题步骤 6.16

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

解题步骤 6.17

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

解题步骤 6.18

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 1 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 + 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \cdot 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.7

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.8

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 + 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot 1}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.10

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.11

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 - 3 \cdot 0}}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 + 0}}$

解题步骤 8.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1}}$

解题步骤 8.3

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 3$ 。

$e^{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 8.5

将负号移到分数的前面。

$e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 8.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

小数形式：

$0.22313016 \dots$

初级微积分 示例

初级微积分示例