初级微积分示例

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $12$ 。

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

约去公因数。

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

重写表达式。

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

运用分配律。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.1.1.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

解题步骤 3.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

解题步骤 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

解题步骤 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

解题步骤 3.4.4

从 $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ 中分解出因数 $10^{2}$ 。

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

解题步骤 3.4.5

将 $1.2$ 和 $0.01$ 相加。

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

解题步骤 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

解题步骤 3.6

化简 $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ 重写为 $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ 。

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 3.6.2

计算根。

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 3.6.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

解题步骤 3.6.4

对 $10$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

解题步骤 3.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

科学计数法：

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

展开式：

$x = 11, - 11$

初级微积分 示例

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