初级微积分示例

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

解题步骤 2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \log_{3} (2 x)$ 。

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

解题步骤 3.1.1.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

解题步骤 3.1.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

解题步骤 3.1.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \log_{3} (x)$ 。

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

解题步骤 3.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

解题步骤 3.1.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

移动 $x^{8}$ 。

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

解题步骤 3.1.3.3

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

解题步骤 4

使用对数的定义将 $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{5} = 16 x^{12}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $16 x^{12} = 3^{5}$ 。

$16 x^{12} = 3^{5}$

解题步骤 5.2

将 $16 x^{12} = 3^{5}$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $16 x^{12} = 3^{5}$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x^{12}$ 除以 $1$ 。

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$x^{12} = \frac{243}{16}$

解题步骤 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

解题步骤 5.4

化简 $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

解题步骤 5.4.2

化简分母。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $16$ 重写为 $2^{4}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

解题步骤 5.4.2.2

将 $\sqrt[12]{2^{4}}$ 重写为 $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

解题步骤 5.4.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

解题步骤 5.4.3

将 $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.4.4.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

解题步骤 5.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.4.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

解题步骤 5.4.4.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.4.5.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.5.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.4.4.5.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 5.4.5

化简分子。

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解题步骤 5.4.5.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

解题步骤 5.4.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

解题步骤 5.4.6

化简分子。

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解题步骤 5.4.6.1

使用 $12$ 的最小常见指标重写表达式。

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解题步骤 5.4.6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 5.4.6.1.2

将 $4^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $4^{\frac{4}{12}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

解题步骤 5.4.6.1.3

将 $4^{\frac{4}{12}}$ 重写为 $\sqrt[12]{4^{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

解题步骤 5.4.6.2

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

解题步骤 5.4.6.3

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

解题步骤 5.4.7

将 $243$ 乘以 $256$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

解题步骤 6

排除不能使 $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ 成立的解。

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

小数形式：

$x = 1.25446107 \dots$

初级微积分 示例

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