初级微积分示例

$\log_{4} (x^{2} - 2 x - 15) - \log_{4} (x + 3) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}) = 2$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

解题步骤 1.3

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

解题步骤 1.3.2

用 $x - 5$ 除以 $1$ 。

$\log_{4} (x - 5) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{4} (x - 5) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$4^{2} = x - 5$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x - 5 = 4^{2}$ 。

$x - 5 = 4^{2}$

解题步骤 3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x - 5 = 16$

解题步骤 3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 16 + 5$

解题步骤 3.3.2

将 $16$ 和 $5$ 相加。

$x = 21$

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