初级微积分示例

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log_{3} (x - 1)$ 。

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

解题步骤 5

化简 $3 ({(x - 1)}^{2})$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

解题步骤 5.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

解题步骤 5.5.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $6 x$ 。

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

解题步骤 6.3

将 $x$ 和 $6 x$ 相加。

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

解题步骤 7

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

解题步骤 7.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$7 x - 3 x^{2} = 2$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $2$ 。

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

从 $7 x - 3 x^{2} - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $7 x$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

解题步骤 9.1.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

解题步骤 9.1.3

从 $7 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

解题步骤 9.1.4

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

解题步骤 9.1.5

从 $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

解题步骤 9.1.6

从 $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

解题步骤 9.2

因数。

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解题步骤 9.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 9.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 9.2.1.1.1

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

解题步骤 9.2.1.1.2

把 $- 7$ 重写为 $- 1$ 加 $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

解题步骤 9.2.1.1.3

运用分配律。

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

解题步骤 9.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

解题步骤 9.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

解题步骤 9.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

解题步骤 9.2.2

去掉多余的括号。

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 11

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 11.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 12

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 13

最终解为使 $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, 2$

解题步骤 14

排除不能使 $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ 成立的解。

$x = 2$

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