初级微积分示例

$\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} ((x - 10) (x - 3)) - \log_{2} (x) = 2$

解题步骤 1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{2} = \frac{(x - 10) (x - 3)}{x}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$(x - 10) (x - 3) = 2^{2} (x)$

解题步骤 4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 10) (x - 3) = 4 x$

解题步骤 5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$(x - 10) (x - 3) - 4 x = 0$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 10) (x - 3)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$x (x - 3) - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 3 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.2.1.3

将 $- 10$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 3 x - 10 x + 30 - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 3 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x^{2} - 13 x + 30 - 4 x = 0$

解题步骤 5.3

从 $- 13 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} - 17 x + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $- 17$ 。

$- 15, - 2$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 15) (x - 2) = 0$

解题步骤 7

化简 $(x - 15) (x - 2)$ 。

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解题步骤 7.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 15) (x - 2)$ 。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$x (x - 2) - 15 (x - 2) = 0$

解题步骤 7.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 (x - 2) = 0$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 2 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 15$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - 2 x - 15 x + 30 = 0$

解题步骤 7.2.2

从 $- 2 x$ 中减去 $15 x$ 。

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} - 17 x + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $- 17$ 。

$- 15, - 2$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 15) (x - 2) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 15 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 10

将 $x - 15$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x - 15$ 设为等于 $0$ 。

$x - 15 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $15$ 。

$x = 15$

解题步骤 11

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 12

最终解为使 $(x - 15) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 15, 2$

解题步骤 13

排除不能使 $\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$ 成立的解。

$x = 15$

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