初级微积分示例

$\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$

解题步骤 1

将 $\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$ 重写为 $\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$ 。

$\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5 - x}$ 重写成 ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 3

将 $\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ 重写为 $\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 4

将 $\ln (100 x^{5})$ 重写为 $\ln (100) + \ln (x^{5})$ 。

$\ln (100) + \ln (x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 5

通过将 $5$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{5})$ 。

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 6

通过将 $\frac{1}{3}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

解题步骤 7

将 $\ln (3 {(x + 4)}^{2})$ 重写为 $\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2})$ 。

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2}))$

解题步骤 8

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 4)}^{2})$ 。

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

将 $\ln (100)$ 重写为 $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ 。

$\ln (2^{2} \cdot 5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.2

将 $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ 重写为 $\ln (2^{2}) + \ln (5^{2})$ 。

$\ln (2^{2}) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$2 \ln (2) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.3.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (5 - x)$ 。

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.5

运用分配律。

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - (2 \ln (x + 4))$

解题步骤 9.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

解题步骤 10

要将 $2 \ln (2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + 2 \ln (2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

解题步骤 11

组合 $2 \ln (2)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3 + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

解题步骤 13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

解题步骤 14

要将 $- 2 \ln (x + 4)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - 2 \ln (x + 4) \cdot \frac{3}{3} - \ln (3)$

解题步骤 15

组合 $- 2 \ln (x + 4)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} + \frac{- 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

解题步骤 17

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 6 \ln (x + 4)}{3} - \ln (3)$

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