初级微积分示例

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{2}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{2}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 1$ 和 $r = \frac{1}{2}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将 ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

解题步骤 5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

解题步骤 7

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 8

使用已知值替换变量以求 $S_{7}$ 。

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 9

将 $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ 乘以 $1$ 。

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 10.1

将 $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 10.2

合并。

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

解题步骤 11

运用分配律。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $2^{7}$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.3

重写表达式。

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.3

一的任意次幂都为一。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.4

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.6

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{64}{64}$ 。

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.8

在公分母上合并分子。

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9

化简分子。

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解题步骤 13.9.1

将 $- 2$ 乘以 $64$ 。

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9.2

从 $1$ 中减去 $128$ 。

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 13.10

将负号移到分数的前面。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 14

化简分母。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

解题步骤 15

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 15.1

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

解题步骤 15.2

用 $\frac{127}{64}$ 除以 $1$ 。

$S_{7} = \frac{127}{64}$

初级微积分 示例

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