初级微积分示例

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 3$

$b = 4 \sqrt{3}$

$k = - 4$

$h = - 5$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(- 5, - 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{9 + 48}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$\sqrt{57}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 2, - 4)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 8, - 4)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.2

对 $4 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

解题步骤 8.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

解题步骤 8.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

解题步骤 8.3.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}}{3}$

解题步骤 8.3.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 8.3.5

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 48}}{3}$

解题步骤 8.3.6

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$\frac{\sqrt{57}}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.1.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.1.5

计算指数。

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{12}{\sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ 。

$\frac{12}{\sqrt{57}} \cdot \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.4.1

将 $\frac{12}{\sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ 。

$\frac{12 \sqrt{57}}{\sqrt{57} \sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.4.2

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57}}$

解题步骤 9.3.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1}}$

解题步骤 9.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{2}}$

解题步骤 9.3.4.6

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 9.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 \sqrt{57}}{{(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{1}}$

解题步骤 9.3.4.6.5

计算指数。

$\frac{12 \sqrt{57}}{57}$

解题步骤 9.3.5

约去 $12$ 和 $57$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.5.1

从 $12 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{57}$

解题步骤 9.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.5.2.1

从 $57$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 (19)}$

解题步骤 9.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 \cdot 19}$

解题步骤 9.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

解题步骤 11.2.2

运用分配律。

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

解题步骤 11.2.3

组合 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

解题步骤 11.2.4

乘以 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ 。

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解题步骤 11.2.4.1

组合 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 和 $5$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 5}{3} - 4$

解题步骤 11.2.4.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

解题步骤 12.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

解题步骤 12.2.2

运用分配律。

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

解题步骤 12.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

解题步骤 12.2.4

乘以 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ 。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - 5 \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 12.2.4.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 5 (4 \sqrt{3})}{3} - 4$

解题步骤 12.2.4.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 12.2.5

化简每一项。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{4 \cdot x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 12.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4, y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(- 5, - 4)$

顶点： $(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

焦点： $(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

离心率： $\frac{\sqrt{57}}{3}$

焦点参数： $\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

渐近线： $y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$ ， $y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

解题步骤 15

初级微积分 示例

初级微积分示例