初级微积分示例

$a x + 3 y = b$ , $- 5 x + y = 1$

Step 1

求解 $x$ 的方程。

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从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$a x = b - 3 y$

$- 5 x + y = 1$

将 $a x = b - 3 y$ 中的每一项除以 $a$ 并化简。

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将 $a x = b - 3 y$ 中的每一项都除以 $a$ 。

$\frac{a x}{a} = \frac{b}{a} + \frac{- 3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

化简左边。

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约去 $a$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{a x}{a} = \frac{b}{a} + \frac{- 3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{b}{a} + \frac{- 3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

$x = \frac{b}{a} + \frac{- 3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

$x = \frac{b}{a} + \frac{- 3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 x + y = 1$

Step 2

求解 $y$ 的方程。

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化简每一项。

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运用分配律。

$- 5 \frac{b}{a} - 5 (- \frac{3 y}{a}) + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

组合 $- 5$ 和 $\frac{b}{a}$ 。

$\frac{- 5 b}{a} - 5 (- \frac{3 y}{a}) + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

乘以 $- 5 (- \frac{3 y}{a})$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 b}{a} + 5 (\frac{3 y}{a}) + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

组合 $5$ 和 $\frac{3 y}{a}$ 。

$\frac{- 5 b}{a} + \frac{5 (3 y)}{a} + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$\frac{- 5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- \frac{5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a, a, 1, 1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

Since $a, a, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $a^{1}, a^{1}$ .

Since $a, a, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part a,a.

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

$1$ 列出各数的质因数。

$2$ 对各个因数乘以其出现在任一数字中的最多次数。

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

$1, 1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$a^{1}$ 的因式是 $a$ 本身。

$a = a$

a occurs $1$ time.

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$a^{1}, a^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

将 $- \frac{5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$ 中的每一项乘以 $a$ 以消去分数。

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将 $- \frac{5 b}{a} + \frac{15 y}{a} + y = 1$ 中的每一项乘以 $a$ 。

$- \frac{5 b}{a} \cdot a + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

化简左边。

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化简每一项。

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约去 $a$ 的公因数。

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将 $- \frac{5 b}{a}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5 b}{a} \cdot a + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

约去公因数。

$\frac{- 5 b}{a} \cdot a + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

重写表达式。

$- 5 b + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

约去 $a$ 的公因数。

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约去公因数。

$- 5 b + \frac{15 y}{a} \cdot a + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

重写表达式。

$- 5 b + 15 y + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + 15 y + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + 15 y + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + 15 y + y a = 1 a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

化简右边。

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将 $a$ 乘以 $1$ 。

$- 5 b + 15 y + y a = a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + 15 y + y a = a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$- 5 b + 15 y + y a = a$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

求解方程。

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在等式两边都加上 $5 b$ 。

$15 y + y a = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

从 $15 y + y a$ 中分解出因数 $y$ 。

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从 $15 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 15 + y a = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

从 $y a$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 15 + y (a) = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

从 $y \cdot 15 + y (a)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot (15 + a) = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

将 $y$ 乘以 $15 + a$ 。

$y (15 + a) = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y (15 + a) = a + 5 b$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

将 $y (15 + a) = a + 5 b$ 中的每一项除以 $15 + a$ 并化简。

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将 $y (15 + a) = a + 5 b$ 中的每一项都除以 $15 + a$ 。

$\frac{y (15 + a)}{15 + a} = \frac{a}{15 + a} + \frac{5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

化简左边。

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约去 $15 + a$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{y (15 + a)}{15 + a} = \frac{a}{15 + a} + \frac{5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{a}{15 + a} + \frac{5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a}{15 + a} + \frac{5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a}{15 + a} + \frac{5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

化简右边。

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在公分母上合并分子。

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$x = \frac{b}{a} - \frac{3 y}{a}$

Step 3

求解 $b$ 的方程。

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化简 $a (\frac{b}{a} - \frac{3 (\frac{a + 5 b}{15 + a})}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a})$ 。

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化简每一项。

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在公分母上合并分子。

$a (\frac{b - 3 \frac{a + 5 b}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

化简每一项。

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组合 $- 3$ 和 $\frac{a + 5 b}{15 + a}$ 。

$a (\frac{b + \frac{- 3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将负号移到分数的前面。

$a (\frac{b - \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$a (\frac{b - \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

要将 $b$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15 + a}{15 + a}$ 。

$a (\frac{b \cdot \frac{15 + a}{15 + a} - \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

组合 $b$ 和 $\frac{15 + a}{15 + a}$ 。

$a (\frac{\frac{b (15 + a)}{15 + a} - \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

在公分母上合并分子。

$a (\frac{\frac{b (15 + a) - 3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

化简分子。

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运用分配律。

$a (\frac{\frac{b \cdot 15 + b a - 3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $15$ 移到 $b$ 的左侧。

$a (\frac{\frac{15 \cdot b + b a - 3 (a + 5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

运用分配律。

$a (\frac{\frac{15 b + b a - 3 a - 3 (5 b)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$a (\frac{\frac{15 b + b a - 3 a - 15 b}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $15 b$ 中减去 $15 b$ 。

$a (\frac{\frac{b a - 3 a + 0}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $b a - 3 a$ 和 $0$ 相加。

$a (\frac{\frac{b a - 3 a}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $b a - 3 a$ 中分解出因数 $a$ 。

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从 $b a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (\frac{\frac{a b - 3 a}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $- 3 a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (\frac{\frac{a b + a \cdot - 3}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $a b + a \cdot - 3$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (\frac{\frac{a (b - 3)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$a (\frac{\frac{a (b - 3)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$a (\frac{\frac{a (b - 3)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

约去 $a$ 的公因数。

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约去公因数。

$a (\frac{\frac{a (b - 3)}{15 + a}}{a}) + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

重写表达式。

$\frac{a (b - 3)}{15 + a} + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$\frac{a (b - 3)}{15 + a} + 3 (\frac{a + 5 b}{15 + a}) = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

组合 $3$ 和 $\frac{a + 5 b}{15 + a}$ 。

$\frac{a (b - 3)}{15 + a} + \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$\frac{a (b - 3)}{15 + a} + \frac{3 (a + 5 b)}{15 + a} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

在公分母上合并分子。

$\frac{a (b - 3) + 3 (a + 5 b)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

化简每一项。

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运用分配律。

$\frac{a b + a \cdot - 3 + 3 (a + 5 b)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $- 3$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{a b - 3 \cdot a + 3 (a + 5 b)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

运用分配律。

$\frac{a b - 3 a + 3 a + 3 (5 b)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{a b - 3 a + 3 a + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$\frac{a b - 3 a + 3 a + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

化简项。

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合并 $a b - 3 a + 3 a + 15 b$ 中相反的项。

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将 $- 3 a$ 和 $3 a$ 相加。

$\frac{a b + 0 + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将 $a b$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a b + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$\frac{a b + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $a b + 15 b$ 中分解出因数 $b$ 。

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从 $a b$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b a + 15 b}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $15 b$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b a + b \cdot 15}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $b a + b \cdot 15$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (a + 15)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$\frac{b (a + 15)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

约去 $a + 15$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{b (a + 15)}{a + 15} = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$b = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$b = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$b = b$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

将所有包含 $b$ 的项移到等式左边。

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从等式两边同时减去 $b$ 。

$b - b = 0$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

从 $b$ 中减去 $b$ 。

$0 = 0$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

$0 = 0$

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

总为真

$y = \frac{a + 5 b}{15 + a}$

初级微积分 示例

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