初级微积分示例

${(x + 1)}^{2} = - 12 (y - 6)$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $y$ 单独提取至等式的左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将方程重写为 $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ 。

$- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ 中的每一项除以 $- 12$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

将 $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ 中的每一项都除以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $- 12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $y - 6$ 除以 $1$ 。

$y - 6 = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y - 6 = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12}$

解题步骤 1.1.3

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12} + 6$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$

解题步骤 1.2

对 $- \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$- \frac{1}{12} \cdot ((x + 1) (x + 1)) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 1) + 6$

解题步骤 1.2.1.1.4

运用分配律。

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.5.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1.5.2.1

将 $- \frac{1}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 (x)) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.4

约去公因数。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 \cdot 6} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.2.5

重写表达式。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{6} x - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.3

组合 $\frac{- 1}{6}$ 和 $x$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

解题步骤 1.2.1.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} + 6$

解题步骤 1.2.1.1.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 6$

解题步骤 1.2.1.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 6 \cdot \frac{12}{12}$

解题步骤 1.2.1.3

组合 $6$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12}$

解题步骤 1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 6 \cdot 12}{12}$

解题步骤 1.2.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.5.1

将 $6$ 乘以 $12$ 。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 72}{12}$

解题步骤 1.2.1.5.2

将 $- 1$ 和 $72$ 相加。

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{71}{12}$

解题步骤 1.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = \frac{71}{12}$

解题步骤 1.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$d = \frac{\frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

解题步骤 1.2.4.2.4

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

解题步骤 1.2.4.2.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.4.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

解题步骤 1.2.4.2.4.2.2

约去公因数。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

解题步骤 1.2.4.2.4.2.3

重写表达式。

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

解题步骤 1.2.4.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

解题步骤 1.2.4.2.6

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.6.1

从 $1 \cdot 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.4.2.6.2

约去公因数。

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.4.2.6.3

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{6}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{71}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.3

对 $\frac{1}{6}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.4

一的任意次幂都为一。

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.5

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.6

将 $\frac{1}{36}$ 乘以 $1$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1

约去 $- 4$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1.2.2

约去公因数。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.1.2.3

重写表达式。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{36} (- 1 \cdot 3))$

解题步骤 1.2.5.2.1.5

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.5.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

解题步骤 1.2.5.2.1.5.2

从 $- 1 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

解题步骤 1.2.5.2.1.5.3

约去公因数。

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

解题步骤 1.2.5.2.1.5.4

重写表达式。

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{12} \cdot - 1)$

解题步骤 1.2.5.2.1.6

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $- 1$ 。

$e = \frac{71}{12} - \frac{- 1}{12}$

解题步骤 1.2.5.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$e = \frac{71}{12} - - \frac{1}{12}$

解题步骤 1.2.5.2.1.8

乘以 $- - \frac{1}{12}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = \frac{71}{12} + 1 (\frac{1}{12})$

解题步骤 1.2.5.2.1.8.2

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $1$ 。

$e = \frac{71}{12} + \frac{1}{12}$

解题步骤 1.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{71 + 1}{12}$

解题步骤 1.2.5.2.3

将 $71$ 和 $1$ 相加。

$e = \frac{72}{12}$

解题步骤 1.2.5.2.4

用 $72$ 除以 $12$ 。

$e = 6$

解题步骤 1.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 6$ 。

$- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 6$

解题步骤 1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 1$

$k = 6$

解题步骤 3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 1, 6)$

解题步骤 5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

解题步骤 5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

解题步骤 5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

解题步骤 5.3.3

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$- (1 \cdot 3)$

解题步骤 5.3.5

乘以 $- (1 \cdot 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 3$

解题步骤 5.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 6

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 1, 3)$

解题步骤 7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - 1$

解题步骤 8

求准线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = 9$

解题步骤 9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- 1, 6)$

焦点： $(- 1, 3)$

对称轴： $x = - 1$

准线： $y = 9$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例