初级微积分示例

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{144} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{144} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 9$

$b = 12$

$k = - 5$

$h = 3$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(3, - 5)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{81 + {(12)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{81 + 144}$

解题步骤 5.3.3

将 $81$ 和 $144$ 相加。

$\sqrt{225}$

解题步骤 5.3.4

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\sqrt{15^{2}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$15$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(12, - 5)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, - 5)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(12, - 5), (- 6, - 5)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(18, - 5)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 12, - 5)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(18, - 5), (- 12, - 5)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} + {(12)}^{2}}}{9}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{81 + 12^{2}}}{9}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{81 + 144}}{9}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $81$ 和 $144$ 相加。

$\frac{\sqrt{225}}{9}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{15^{2}}}{9}$

解题步骤 8.3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{15}{9}$

解题步骤 8.3.2

约去 $15$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5)}{9}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{12^{2}}{15}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{144}{15}$

解题步骤 9.3.2

约去 $144$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $144$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (48)}{15}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 48}{3 \cdot 5}$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{48}{5}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

解题步骤 11.2

化简 $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 5$

解题步骤 11.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 5$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 5$

解题步骤 11.2.1.4.3

重写表达式。

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 5$

解题步骤 11.2.1.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 5$

解题步骤 11.2.2

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$y = \frac{4 x}{3} - 9$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$

解题步骤 12.2

化简 $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 5$ 。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 5$

解题步骤 12.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

解题步骤 12.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 5$

解题步骤 12.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.4.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 5$

解题步骤 12.2.1.4.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 5$

解题步骤 12.2.1.4.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 5$

解题步骤 12.2.1.4.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 5$

解题步骤 12.2.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 5$

解题步骤 12.2.1.6

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 5$

解题步骤 12.2.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$y = - \frac{4 x}{3} - 1$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{4 x}{3} - 9, y = - \frac{4 x}{3} - 1$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(3, - 5)$

顶点： $(12, - 5), (- 6, - 5)$

焦点： $(18, - 5), (- 12, - 5)$

离心率： $\frac{5}{3}$

焦点参数： $\frac{48}{5}$

渐近线： $y = \frac{4 x}{3} - 9$ ， $y = - \frac{4 x}{3} - 1$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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