初级微积分示例

$4 x^{2} + 81 y^{2} = 324$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $324$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 x^{2}}{324} + \frac{81 y^{2}}{324} = \frac{324}{324}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 9$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{81 - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{81 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{81 - 4}$

解题步骤 5.3.4

从 $81$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{77}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 9, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

$(9, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (9), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- 9, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + \sqrt{77}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(\sqrt{77}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (\sqrt{77}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- \sqrt{77}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{77}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{77}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{77}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{77}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(2)}^{2}}}{9}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{81 - 2^{2}}}{9}$

解题步骤 8.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 4}}{9}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{81 - 4}}{9}$

解题步骤 8.3.4

从 $81$ 中减去 $4$ 。

$\frac{\sqrt{77}}{9}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(9, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{77}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{77}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{77}}{9}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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