初级微积分示例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.5

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.3.7

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.3.8

要将 $- \frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9.3

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

解题步骤 5.3.9.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

解题步骤 5.3.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

解题步骤 5.3.11

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

解题步骤 5.3.12

将 $\sqrt{\frac{5}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

解题步骤 5.3.13

化简分母。

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解题步骤 5.3.13.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.13.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

$(\frac{1}{2}, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- \frac{1}{2}, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.5

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.6

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.8

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.9

要将 $- \frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 8.3.10.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.3

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.12

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.13

将 $\sqrt{\frac{5}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.14

化简分母。

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解题步骤 8.3.14.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.14.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例