初级微积分示例

$9 x^{2} + 25 y^{2} - 18 x + 250 y + 409 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $409$ 。

$9 x^{2} + 25 y^{2} - 18 x + 250 y = - 409$

解题步骤 1.2

对 $9 x^{2} - 18 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 9}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 9$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $324$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - 9$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$e = - 9$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 1.3

在方程 $9 x^{2} + 25 y^{2} - 18 x + 250 y = - 409$ 中，用 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 代替 $9 x^{2} - 18 x$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 25 y^{2} + 250 y = - 409$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $- 9$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} + 25 y^{2} + 250 y = - 409 + 9$

解题步骤 1.5

对 $25 y^{2} + 250 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 25$

$b = 250$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{250}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $250$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $250$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (25)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 25}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{125}{25}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $125$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 5}{25}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 5}{25 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{25 \cdot 5}{25 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot 25}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $250$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot 25}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - \frac{62500}{100}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $62500$ 除以 $100$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 625$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $625$ 。

$e = 0 - 625$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $625$ 。

$e = - 625$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $25 {(y + 5)}^{2} - 625$ 。

$25 {(y + 5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.6

在方程 $9 x^{2} + 25 y^{2} - 18 x + 250 y = - 409$ 中，用 $25 {(y + 5)}^{2} - 625$ 代替 $25 y^{2} + 250 y$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} + 25 {(y + 5)}^{2} - 625 = - 409 + 9$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $625$ 的方法来将 $- 625$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} + 25 {(y + 5)}^{2} = - 409 + 9 + 625$

解题步骤 1.8

化简 $- 409 + 9 + 625$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 409$ 和 $9$ 相加。

$9 {(x - 1)}^{2} + 25 {(y + 5)}^{2} = - 400 + 625$

解题步骤 1.8.2

将 $- 400$ 和 $625$ 相加。

$9 {(x - 1)}^{2} + 25 {(y + 5)}^{2} = 225$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $225$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{225} + \frac{25 {(y + 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 5$

$h = 1$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(1, - 5)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{25 - 9}$

解题步骤 5.3.4

从 $25$ 中减去 $9$ 。

$\sqrt{16}$

解题步骤 5.3.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1 + 5, - 5)$

解题步骤 6.3

化简。

$(6, - 5)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1 - (5), - 5)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- 4, - 5)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 5)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1 + 4, - 5)$

解题步骤 7.3

化简。

$(5, - 5)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1 - (4), - 5)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- 3, - 5)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(5, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(5, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 5)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

解题步骤 8.3.4

从 $25$ 中减去 $9$ 。

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

解题步骤 8.3.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

解题步骤 8.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(1, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(5, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, - 5)$

离心率： $\frac{4}{5}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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