初级微积分示例

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $129$ 。

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

解题步骤 1.2

对 $4 x^{2} - 16 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{256}{16}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $256$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

解题步骤 1.3

在方程 $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ 中，用 $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 代替 $4 x^{2} - 16 x$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

解题步骤 1.5

对 $- 9 y^{2} - 72 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 72$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 72$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 36}{- 9}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $- 36$ 和 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $- 9$ 。

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $- 72$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $5184$ 除以 $- 36$ 。

$e = 0 - - 144$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 144$ 。

$e = 0 + 144$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $144$ 相加。

$e = 144$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ 。

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

解题步骤 1.6

在方程 $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ 中，用 $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ 代替 $- 9 y^{2} - 72 y$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $144$ 的方法来将 $144$ 移到等式右边。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

解题步骤 1.8

化简 $129 + 16 - 144$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $129$ 和 $16$ 相加。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

解题步骤 1.8.2

从 $145$ 中减去 $144$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

解题步骤 1.9

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(2, - 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.5

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.3.7

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.3.8

要将 $\frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 5.3.9.3

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

解题步骤 5.3.9.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

解题步骤 5.3.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

解题步骤 5.3.11

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

解题步骤 5.3.12

将 $\sqrt{\frac{13}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

解题步骤 5.3.13

化简分母。

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解题步骤 5.3.13.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.13.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{5}{2}, - 4)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{3}{2}, - 4)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.5

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.6

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.8

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.9

要将 $\frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 8.3.10.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.3

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.10.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.12

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.13

将 $\sqrt{\frac{13}{36}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.14

化简分母。

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解题步骤 8.3.14.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.14.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.15.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 9.3.2

合并。

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

解题步骤 9.3.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

解题步骤 9.3.3.2

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

解题步骤 9.3.3.3

将 $6$ 移到 $\sqrt{13}$ 的左侧。

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.5

将 $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

解题步骤 9.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.6.1

将 $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

解题步骤 9.3.6.2

移动 $\sqrt{13}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

解题步骤 9.3.6.3

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

解题步骤 9.3.6.4

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

解题步骤 9.3.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

解题步骤 9.3.6.7

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 9.3.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.6.7.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.6.7.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

解题步骤 9.3.6.7.5

计算指数。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

解题步骤 9.3.7

将 $6$ 乘以 $13$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

解题步骤 9.3.8

乘以 $\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ 。

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解题步骤 9.3.8.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13}}{78}$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

解题步骤 9.3.8.2

将 $9$ 乘以 $78$ 。

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

解题步骤 11.2

化简 $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

解题步骤 11.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

解题步骤 11.2.1.4

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

解题步骤 11.2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

解题步骤 11.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

解题步骤 11.2.2

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 11.2.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $- 4$ 中减去 $12$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

解题步骤 11.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

解题步骤 12.2

化简 $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ 。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

解题步骤 12.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

解题步骤 12.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

解题步骤 12.2.1.4

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 12.2.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

解题步骤 12.2.1.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

解题步骤 12.2.1.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

解题步骤 12.2.1.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

解题步骤 12.2.2

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 12.2.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 12.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 12.2.5

化简分子。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

解题步骤 12.2.5.2

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 12.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(2, - 4)$

顶点： $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

焦点： $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

离心率： $\frac{\sqrt{13}}{3}$

焦点参数： $\frac{\sqrt{13}}{702}$

渐近线： $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ ， $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 15

初级微积分 示例

初级微积分示例