初级微积分示例

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $3 y^{2}$ 。

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

解题步骤 1.1.2

移动 $15 y$ 。

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

解题步骤 1.1.3

移动 $2 x$ 。

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

解题步骤 1.2

对 $x^{2} + 2 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 1)}^{2} - 1$ 。

${(x + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 1.3

在方程 $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ 中，用 ${(x + 1)}^{2} - 1$ 代替 $x^{2} + 2 x$ 。

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $1$ 的方法来将 $- 1$ 移到等式右边。

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

解题步骤 1.5

对 $3 y^{2} + 15 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3.2

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{2}$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - \frac{225}{12}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

约去 $225$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.3.1

从 $225$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{75}{4}$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{75}{4}$ 。

$e = - \frac{75}{4}$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ 。

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

解题步骤 1.6

在方程 $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ 中，用 $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ 代替 $3 y^{2} + 15 y$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $\frac{75}{4}$ 的方法来将 $- \frac{75}{4}$ 移到等式右边。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8

化简 $7 + 1 + \frac{75}{4}$ 。

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解题步骤 1.8.1

求公分母。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $7$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.1.2

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.1.3

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.1.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.1.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.1.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

解题步骤 1.8.2

在公分母上合并分子。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

解题步骤 1.8.3

化简表达式。

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解题步骤 1.8.3.1

将 $7$ 乘以 $4$ 。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

解题步骤 1.8.3.2

将 $28$ 和 $4$ 相加。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

解题步骤 1.8.3.3

将 $32$ 和 $75$ 相加。

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $\frac{107}{4}$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(- 1, - \frac{5}{2})$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{\sqrt{107}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{107}}^{2}$ 重写为 $107$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{107}$ 重写成 $107^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $\frac{\sqrt{321}}{6}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt{321}}^{2}$ 重写为 $321$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{321}$ 重写成 $321^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.4.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

解题步骤 5.3.5

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

解题步骤 5.3.6

约去 $321$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $321$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

解题步骤 5.3.6.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

解题步骤 5.3.6.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

解题步骤 5.3.7

要将 $\frac{107}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

解题步骤 5.3.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 5.3.8.1

将 $\frac{107}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

解题步骤 5.3.8.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

解题步骤 5.3.9

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

解题步骤 5.3.10

化简分子。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $107$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

解题步骤 5.3.10.2

从 $321$ 中减去 $107$ 。

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

解题步骤 5.3.11

约去 $214$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.11.1

从 $214$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

解题步骤 5.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.11.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

解题步骤 5.3.11.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

解题步骤 5.3.11.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

解题步骤 5.3.12

将 $\sqrt{\frac{107}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 5.3.13

将 $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 5.3.14

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.14.1

将 $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 5.3.14.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 5.3.14.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 5.3.14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 5.3.14.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 5.3.14.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.14.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.14.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.14.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.14.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.14.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 5.3.14.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 5.3.15

化简分子。

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解题步骤 5.3.15.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

解题步骤 5.3.15.2

将 $107$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

解题步骤 6.5

化简。

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 6.6

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 7.3

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

解题步骤 7.5

化简。

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.2

对 $\frac{\sqrt{107}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3

将 ${\sqrt{107}}^{2}$ 重写为 $107$ 。

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解题步骤 8.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{107}$ 重写成 $107^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.4

化简表达式。

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解题步骤 8.3.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.4.2

对 $\frac{\sqrt{321}}{6}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5

将 ${\sqrt{321}}^{2}$ 重写为 $321$ 。

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解题步骤 8.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{321}$ 重写成 $321^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.5.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.6

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.7

约去 $321$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.1

从 $321$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.7.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.7.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.7.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.8

要将 $\frac{107}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 8.3.9.1

将 $\frac{107}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.9.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.11

化简分子。

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解题步骤 8.3.11.1

将 $107$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.11.2

从 $321$ 中减去 $107$ 。

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.12

约去 $214$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.12.1

从 $214$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.12.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.12.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.12.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.13

将 $\sqrt{\frac{107}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.14

约去 $\sqrt{107}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.14.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

解题步骤 8.3.14.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

解题步骤 8.3.15

组合 $\frac{1}{\sqrt{6}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

解题步骤 8.3.16

将 $\frac{2}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 8.3.17

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.17.1

将 $\frac{2}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 8.3.17.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 8.3.17.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 8.3.17.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.17.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 8.3.17.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 8.3.17.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.17.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.17.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.17.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.17.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.17.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 8.3.17.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 8.3.18

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.18.1

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

解题步骤 8.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.18.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.18.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.18.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

离心率： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例