初级微积分示例

$\sum_{k = 5}^{15} (- 10) {(- 1)}^{k - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ 和 ${(- 1)}^{k - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(- 1)}^{k - 1}$ 。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $k$ 和 $0$ 相加。

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $k$ 中减去 $k$ 。

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(- 1)}^{1}$

解题步骤 2.2.7

计算指数。

$r = - 1$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 代入 $(- 10) {(- 1)}^{k - 1}$ 以替换 $k$ 。

$a = - 10 {(- 1)}^{5 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$a = - 10 {(- 1)}^{4}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$a = - 10 \cdot 1$

解题步骤 3.2.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$a = - 10$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$- 10 \frac{1 - {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{11}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{11}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

解题步骤 5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 11}}{1 - - 1}$

解题步骤 5.1.1.2

将 $1$ 和 $11$ 相加。

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{12}}{1 - - 1}$

解题步骤 5.1.2

对 $- 1$ 进行 $12$ 次方运算。

$- 10 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 10 \frac{2}{1 - - 1}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10 \frac{2}{1 + 1}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 10 (\frac{2}{2})$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$- 10 (\frac{2}{2})$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$- 10 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 10$

初级微积分 示例

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