初级微积分示例

$\sum_{k = 4}^{21} 59 - 7 k$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 4}^{21} 59 - 7 k = \sum_{k = 1}^{21} 59 - 7 k - \sum_{k = 1}^{3} 59 - 7 k$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{21} 59 - 7 k$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{21} 59 - 7 k = \sum_{k = 1}^{21} 59 - 7 \sum_{k = 1}^{21} k$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{k = 1}^{21} 59$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(59) (21)$

解题步骤 2.2.3

将 $59$ 乘以 $21$ 。

$1239$

解题步骤 2.3

计算 $7 \sum_{k = 1}^{21} k$ 。

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解题步骤 2.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 7) (\frac{21 (21 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $21$ 和 $1$ 相加。

$- 7 \frac{21 \cdot 22}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $21$ 乘以 $22$ 。

$- 7 (\frac{462}{2})$

解题步骤 2.3.3.3

用 $462$ 除以 $2$ 。

$- 7 \cdot 231$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- 7$ 乘以 $231$ 。

$- 1617$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$1239 - 1617$

解题步骤 2.5

从 $1239$ 中减去 $1617$ 。

$- 378$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{3} 59 - 7 k$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$59 - 7 \cdot 1 + 59 - 7 \cdot 2 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$59 - 7 + 59 - 7 \cdot 2 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.2

从 $59$ 中减去 $7$ 。

$52 + 59 - 7 \cdot 2 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.3

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$52 + 59 - 14 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.4

从 $59$ 中减去 $14$ 。

$52 + 45 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.5

将 $52$ 和 $45$ 相加。

$97 + 59 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.6

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$97 + 59 - 21$

解题步骤 3.2.7

从 $59$ 中减去 $21$ 。

$97 + 38$

解题步骤 3.2.8

将 $97$ 和 $38$ 相加。

$135$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 378 - 135$

解题步骤 5

从 $- 378$ 中减去 $135$ 。

$- 513$

初级微积分 示例

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