初级微积分示例

$\sum_{k = 4}^{18} 6 k - 1$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 4}^{18} 6 k - 1 = \sum_{k = 1}^{18} 6 k - 1 - \sum_{k = 1}^{3} 6 k - 1$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{18} 6 k - 1$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{18} 6 k - 1 = 6 \sum_{k = 1}^{18} k + \sum_{k = 1}^{18} - 1$

解题步骤 2.2

计算 $6 \sum_{k = 1}^{18} k$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(6) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $18$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{18 \cdot 19}{2}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $18$ 乘以 $19$ 。

$6 (\frac{342}{2})$

解题步骤 2.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{342}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{342}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 342$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $342$ 。

$1026$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{18} - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$(- 1) (18)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$- 18$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$1026 - 18$

解题步骤 2.5

从 $1026$ 中减去 $18$ 。

$1008$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{3} 6 k - 1$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$6 \cdot 1 - 1 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 - 1 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$5 + 6 \cdot 2 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$5 + 12 - 1 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2.4

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$5 + 11 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2.5

将 $5$ 和 $11$ 相加。

$16 + 6 \cdot 3 - 1$

解题步骤 3.2.6

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$16 + 18 - 1$

解题步骤 3.2.7

从 $18$ 中减去 $1$ 。

$16 + 17$

解题步骤 3.2.8

将 $16$ 和 $17$ 相加。

$33$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$1008 - 33$

解题步骤 5

从 $1008$ 中减去 $33$ 。

$975$

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