初级微积分示例

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ 和 ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $k$ 和 $0$ 相加。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $k$ 中减去 $k$ 。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = - \frac{3}{5}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ 以替换 $k$ 。

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $- \frac{3}{5}$ 运用乘积法则。

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

解题步骤 3.2.2.2

对 $\frac{3}{5}$ 运用乘积法则。

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

解题步骤 3.2.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

解题步骤 3.2.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

约去公因数。

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7.2

重写表达式。

$a = - 3 \cdot 1$

解题步骤 3.2.8

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$a = - 3$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $- \frac{3}{5}$ 运用乘积法则。

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\frac{3}{5}$ 运用乘积法则。

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{8}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{8}$ 。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 ${(- 1)}^{8}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.3

对 $- 1$ 进行 $9$ 次方运算。

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.4

对 $3$ 进行 $8$ 次方运算。

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.5

对 $5$ 进行 $8$ 次方运算。

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.7

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.1.8

从 $390625$ 中减去 $6561$ 。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $- - \frac{3}{5}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

解题步骤 5.2.4

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

解题步骤 5.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $384064$ 中分解出因数 $8$ 。

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

解题步骤 5.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $390625$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

解题步骤 5.5.3

重写表达式。

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

解题步骤 5.6

乘以 $- 3 (\frac{48008}{78125})$ 。

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解题步骤 5.6.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{48008}{78125}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

解题步骤 5.6.2

将 $- 3$ 乘以 $48008$ 。

$\frac{- 144024}{78125}$

解题步骤 5.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{144024}{78125}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{144024}{78125}$

小数形式：

$- 1.8435072$

带分数形式：

$- 1 \frac{65899}{78125}$

初级微积分 示例

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