初级微积分示例

$\sum_{k = 1}^{8} 200 {(1.01)}^{- k}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

解题步骤 2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

约去 $200$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1)}}{{1.01}^{- k}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${1.01}^{- (k + 1)}$ 和 ${1.01}^{- k}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

从 ${1.01}^{- (k + 1)}$ 中分解出因数 ${1.01}^{- k}$ 。

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1) + k}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${1.01}^{- (k + 1) + k}$ 除以 $1$ 。

$r = {1.01}^{- (k + 1) + k}$

解题步骤 2.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

运用分配律。

$r = {1.01}^{- k - 1 \cdot 1 + k}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r = {1.01}^{- k - 1 + k}$

解题步骤 2.2.4

合并 $- k - 1 + k$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

将 $- k$ 和 $k$ 相加。

$r = {1.01}^{0 - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$r = {1.01}^{- 1}$

解题步骤 2.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$r = \frac{1}{1.01}$

解题步骤 2.2.6

用 $1$ 除以 $1.01$ 。

$r = 0.\overline{9900}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $200 {(1.01)}^{- k}$ 以替换 $k$ 。

$a = 200 \cdot {1.01}^{- 1}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$a = 200 \cdot \frac{1}{1.01}$

解题步骤 3.2.2

用 $1$ 除以 $1.01$ 。

$a = 200 \cdot 0.\overline{9900}$

解题步骤 3.2.3

将 $200$ 乘以 $0.\overline{9900}$ 。

$a = 198.\overline{0198}$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$198.\overline{0198} \frac{1 - {0.\overline{9900}}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $0.\overline{9900}$ 进行 $8$ 次方运算。

$198.\overline{0198} \frac{1 - 1 \cdot 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.92348322$ 。

$198.\overline{0198} \frac{1 - 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

解题步骤 5.1.3

从 $1$ 中减去 $0.92348322$ 。

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0.\overline{9900}$ 。

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 0.\overline{9900}}$

解题步骤 5.2.2

从 $1$ 中减去 $0.\overline{9900}$ 。

$198.\overline{0198} (\frac{0.07651677}{0.\overline{0099}})$

解题步骤 5.3

用 $0.07651677$ 除以 $0.\overline{0099}$ 。

$198.\overline{0198} \cdot 7.72819452$

解题步骤 5.4

将 $198.\overline{0198}$ 乘以 $7.72819452$ 。

$1530.33555035$

初级微积分 示例

初级微积分示例