初级微积分示例

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(\frac{3}{4}) (46)$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

解题步骤 2.2.3.1.2

从 $46$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

解题步骤 2.2.3.1.3

约去公因数。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

解题步骤 2.2.3.1.4

重写表达式。

$\frac{3}{2} \cdot 23$

解题步骤 2.2.3.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $23$ 。

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

解题步骤 2.2.3.3

将 $3$ 乘以 $23$ 。

$\frac{69}{2}$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1

从总和中因式分解出 $- \frac{5}{4}$ 。

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

解题步骤 2.3.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1.1

将 $46$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $46$ 乘以 $47$ 。

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

解题步骤 2.3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- \frac{5}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

从 $2162$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.4

约去公因数。

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.5

重写表达式。

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $\frac{- 5}{2}$ 乘以 $\frac{1081}{2}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.4.1

将 $- 5$ 乘以 $1081$ 。

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 5405}{4}$

解题步骤 2.3.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5405}{4}$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

要将 $\frac{69}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

解题步骤 2.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $\frac{69}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $69$ 乘以 $2$ 。

$\frac{138 - 5405}{4}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $138$ 中减去 $5405$ 。

$\frac{- 5267}{4}$

解题步骤 2.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5267}{4}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

解题步骤 3.2

计算 $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.2.2

将值代入公式中。

$(\frac{3}{4}) (14)$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

解题步骤 3.2.3.1.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

解题步骤 3.2.3.1.3

约去公因数。

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

解题步骤 3.2.3.1.4

重写表达式。

$\frac{3}{2} \cdot 7$

解题步骤 3.2.3.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $7$ 。

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

解题步骤 3.2.3.3

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21}{2}$

解题步骤 3.3

计算 $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ 。

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解题步骤 3.3.1

从总和中因式分解出 $- \frac{5}{4}$ 。

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

解题步骤 3.3.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

解题步骤 3.3.4

化简。

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解题步骤 3.3.4.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.1.1

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $14$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

解题步骤 3.3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1

将 $- \frac{5}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

解题步骤 3.3.4.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

解题步骤 3.3.4.2.3

从 $210$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

解题步骤 3.3.4.2.4

约去公因数。

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

解题步骤 3.3.4.2.5

重写表达式。

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $\frac{- 5}{2}$ 乘以 $\frac{105}{2}$ 。

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.4.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.4.1

将 $- 5$ 乘以 $105$ 。

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 525}{4}$

解题步骤 3.3.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{525}{4}$

解题步骤 3.4

将求和的总和相加。

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

要将 $\frac{21}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

解题步骤 3.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $\frac{21}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

解题步骤 3.5.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $21$ 乘以 $2$ 。

$\frac{42 - 525}{4}$

解题步骤 3.5.4.2

从 $42$ 中减去 $525$ 。

$\frac{- 483}{4}$

解题步骤 3.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{483}{4}$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

解题步骤 5.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 5267$ 和 $483$ 相加。

$\frac{- 4784}{4}$

解题步骤 5.2.2

用 $- 4784$ 除以 $4$ 。

$- 1196$

初级微积分 示例

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