初级微积分示例

$\sum_{n = 1}^{15} {(\frac{6}{13})}^{n}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n + 1}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

解题步骤 2.2

约去 ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ 和 ${(\frac{6}{13})}^{n}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{6}{13})}^{n}$ 。

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{\frac{6}{13}}{1}$

解题步骤 2.2.2.4

用 $\frac{6}{13}$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{6}{13}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 ${(\frac{6}{13})}^{n}$ 以替换 $n$ 。

$a = {(\frac{6}{13})}^{1}$

解题步骤 3.2

化简。

$a = \frac{6}{13}$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $13$ .

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$ 乘以 $\frac{13}{13}$ 。

$\frac{6}{13} (\frac{13}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}})$

解题步骤 5.1.2

合并。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 (1 - {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 (1 - \frac{6}{13})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (- \frac{6}{13})}$

解题步骤 5.3

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{6}{13}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{6}{13}$ 运用乘积法则。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- \frac{6^{15}}{13^{15}})}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.3

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $- \frac{6^{15}}{13^{15}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13^{15}}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $13^{15}$ 中分解出因数 $13$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.3.3

约去公因数。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.3.4

重写表达式。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 6^{15}}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.4

对 $6$ 进行 $15$ 次方运算。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.5

对 $13$ 进行 $14$ 次方运算。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $470184984576$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.7

约去 $- 470184984576$ 和 $3937376385699290$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.1

从 $- 470184984576$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 (- 235092492288)}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.7.2.1

从 $3937376385699290$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.9

要将 $13$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot \frac{1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.10

组合 $13$ 和 $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.11

在公分母上合并分子。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.12

化简分子。

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解题步骤 5.4.12.1

将 $13$ 乘以 $1968688192849645$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592946507045385 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.4.12.2

从 $25592946507045385$ 中减去 $235092492288$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 - 6}$

解题步骤 5.5.2

从 $13$ 中减去 $6$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{7}$

解题步骤 5.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6}{13} (\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7})$

解题步骤 5.7

乘以 $\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7}$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $\frac{25592711414553097}{1968688192849645}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{1968688192849645 \cdot 7}$

解题步骤 5.7.2

将 $1968688192849645$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$

解题步骤 5.8

乘以 $\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $\frac{6}{13}$ 乘以 $\frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ 。

$\frac{6 \cdot 25592711414553097}{13 \cdot 13780817349947515}$

解题步骤 5.8.2

将 $6$ 乘以 $25592711414553097$ 。

$\frac{153556268487318582}{13 \cdot 13780817349947515}$

解题步骤 5.8.3

将 $13$ 乘以 $13780817349947515$ 。

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

小数形式：

$0.85713498 \dots$

初级微积分 示例

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