初级微积分示例

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

组合 $n$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$4 - \frac{n}{3}$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{120} 4$ 。

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解题步骤 3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$(4) (120)$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $120$ 。

$480$

$480$

解题步骤 4

计算 $\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ 。

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解题步骤 4.1

从总和中因式分解出 $- \frac{1}{3}$ 。

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

解题步骤 4.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $120$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $120$ 乘以 $121$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

解题步骤 4.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $14520$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

解题步骤 4.4.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

解题步骤 4.4.2.4

重写表达式。

$- 1 (\frac{4840}{2})$

$- 1 (\frac{4840}{2})$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

用 $4840$ 除以 $2$ 。

$- 1 \cdot 2420$

解题步骤 4.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2420$ 。

$- 2420$

$- 2420$

$- 2420$

$- 2420$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$480 - 2420$

解题步骤 6

从 $480$ 中减去 $2420$ 。

$- 1940$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$