初级微积分示例

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 k - 3)}^{2}$ 重写为 $(2 k - 3) (2 k - 3)$ 。

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 k - 3) (2 k - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $k$ 。

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

解题步骤 1.3.2

从 $- 6 k$ 中减去 $6 k$ 。

$4 k^{2} - 12 k + 9$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

解题步骤 3

计算 $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $200$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $200$ 乘以 $201$ 。

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $200$ 。

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $400$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $40200$ 乘以 $401$ 。

$4 (\frac{16120200}{6})$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$2 (\frac{16120200}{3})$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{16120200}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $2$ 乘以 $16120200$ 。

$\frac{32240400}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.2

用 $32240400$ 除以 $3$ 。

$10746800$

解题步骤 4

计算 $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $200$ 和 $1$ 相加。

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $200$ 乘以 $201$ 。

$- 12 (\frac{40200}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- 6 \cdot 40200$

解题步骤 4.3.3

将 $- 6$ 乘以 $40200$ 。

$- 241200$

解题步骤 5

计算 $\sum_{k = 1}^{200} 9$ 。

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解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(9) (200)$

解题步骤 5.3

将 $9$ 乘以 $200$ 。

$1800$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$10746800 - 241200 + 1800$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $10746800$ 中减去 $241200$ 。

$10505600 + 1800$

解题步骤 7.2

将 $10505600$ 和 $1800$ 相加。

$10507400$

初级微积分 示例

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