初级微积分示例

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

解题步骤 2.2.2

合并。

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

解题步骤 2.2.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $8^{k}$ 和 $8^{k + 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $8^{k}$ 中分解出因数 $8^{k + 1}$ 。

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $8^{k - (k + 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = 8^{k - (k + 1)}$

解题步骤 2.2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.1

运用分配律。

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r = 8^{k - k - 1}$

解题步骤 2.2.6

从 $k$ 中减去 $k$ 。

$r = 8^{0 - 1}$

解题步骤 2.2.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$r = 8^{- 1}$

解题步骤 2.2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$r = \frac{1}{8}$

解题步骤 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

解题步骤 4

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $\frac{7}{8^{k}}$ 以替换 $k$ 。

$a = \frac{7}{8^{1}}$

解题步骤 4.2

计算指数。

$a = \frac{7}{8}$

解题步骤 5

将公比和首项的值代入求和公式。

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

解题步骤 6.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

解题步骤 6.2.3

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

解题步骤 6.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

解题步骤 6.4

将 $\frac{8}{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

解题步骤 6.5

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

约去公因数。

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

解题步骤 6.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{8} \cdot 8$

解题步骤 6.6

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} \cdot 8$

解题步骤 6.6.2

重写表达式。

$1$

初级微积分 示例

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