初级微积分示例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.1.6

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 8} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{0}{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{2 - 2}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{9 + 2 x} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 + 2 x}$ 重写成 ${(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 + 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 + 2 x$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $9 + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $9 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.15

组合 $\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.16

将 $2$ 移到 ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2 \cdot {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.18

约去公因数。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.3.19

重写表达式。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.5.2

重新排序项。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\sqrt[3]{x} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.7.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

解题步骤 1.3.9

化简。

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解题步骤 1.3.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

解题步骤 1.3.9.2

合并项。

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解题步骤 1.3.9.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

解题步骤 1.3.9.2.2

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 8} \frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.5

将 ${(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{2 x + 9}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{2 x + 9}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\sqrt{2 x + 9}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{3}{\sqrt{2 x + 9}} x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.6.2

组合 $\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

解题步骤 2.3

使用极限幂法则把 $x^{\frac{2}{3}}$ 的指数 $\frac{2}{3}$ 移到极限外。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + 9}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 9}}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}}$

解题步骤 2.7

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$3 \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.1

约去公因数。

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4.1.3.2

重写表达式。

$3 \frac{2^{2}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$3 \frac{4}{\sqrt{16 + 9}}$

解题步骤 4.2.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$3 \frac{4}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$3 \frac{4}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 4.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$3 (\frac{4}{5})$

解题步骤 4.3

乘以 $3 (\frac{4}{5})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{5}$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{12}{5}$

小数形式：

$2.4$

初级微积分 示例

初级微积分示例