初级微积分示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (6 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

解题步骤 1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (6 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

解题步骤 1.4

将 $\sin (6 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

用 $\sin (6 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\cot (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\cot (2 x) \sin (6 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $3$ 。因此， $\cot (2 x) \sin (6 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $3$ 。

$3$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\cot (2 x) \sin (6 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $3$ 。因此， $\cot (2 x) \sin (6 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $3$ 。

$3$

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