初级微积分示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 ${(2 - x)}^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6

化简项。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6.2

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， ${(2 - x)}^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 - x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $2 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- 4 {(2 - x)}^{3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

解题步骤 1.4

用 $- 4 {(2 - x)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

解题步骤 2.2

使用极限幂法则把 ${(2 - x)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

解题步骤 2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

解题步骤 2.5

化简项。

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解题步骤 2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

解题步骤 2.5.2

化简答案。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \cdot 2^{3}$

解题步骤 2.5.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 4 \cdot 8$

解题步骤 2.5.2.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$- 32$

初级微积分 示例

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