初级微积分示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{4 x^{2}}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.6.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\cos (5 x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{2 x}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.7.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.1.3

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $- 5 \sin (5 x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.6

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.7

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{1}$

解题步骤 4.4

用 $- 25 \cos (5 x) + \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 25 \cos (5 x) + \cos (x)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 5.2

因为项 $25$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 5.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 5.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 5.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

解题步骤 7.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (0) + \cos (0))$

解题步骤 7.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{8} (- 25 \cdot 1 + \cos (0))$

解题步骤 7.2.3

将 $- 25$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (- 25 + \cos (0))$

解题步骤 7.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{8} (- 25 + 1)$

解题步骤 7.3

将 $- 25$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{8} \cdot - 24$

解题步骤 7.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{8} \cdot (8 (- 3))$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 3)$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$- 3$

初级微积分 示例

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