初级微积分示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 ${(2 + x)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(2 + x)}^{2}$ 重写为 $(2 + x) (2 + x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 + x)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $4 + 4 x + x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10

化简。

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解题步骤 1.3.10.1

合并项。

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解题步骤 1.3.10.1.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10.1.2

将 $4 + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

解题步骤 1.4

用 $2 x + 4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

解题步骤 2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

解题步骤 2.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 0 + 4$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

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