初级微积分示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

解题步骤 4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

解题步骤 9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.1.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\sin (2 \frac{π}{4})$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

解题步骤 11.3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

解题步骤 11.3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

解题步骤 11.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

解题步骤 11.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

解题步骤 11.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

解题步骤 11.6

将 $\frac{4}{π}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

解题步骤 11.7

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{3 π}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{3 π}$

小数形式：

$0.42441318 \dots$

初级微积分 示例

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