初级微积分示例

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $w$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $w$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{w \to 4} \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $6$ 的极限值，当 $w$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $4$ 代入 $w$ 来计算 $w$ 的极限值。

$\frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $w$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - lim_{w \to 4} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $w$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 代入 $w$ 来计算 $w$ 的极限值。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4} = lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3 \sqrt{w} - 6$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2

因为 $3$ 对于 $w$ 是常数，所以 $3 w^{\frac{1}{2}}$ 对 $w$ 的导数是 $3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.6

在公分母上合并分子。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.7

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $w^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3 w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $w^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 6$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $w - 4$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d w} [- 4]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 4$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $w^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{w}$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $\frac{3}{2 \sqrt{w}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{3}{2}$ 对于 $w$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{2} lim_{w \to 4} \frac{1}{\sqrt{w}}$

解题步骤 2.2

当 $w$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{w \to 4} 1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $w$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{w \to 4} w}}$

解题步骤 3

将 $4$ 代入 $w$ 来计算 $w$ 的极限值。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{4}$

小数形式：

$0.75$

初级微积分 示例

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