初级微积分示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{4}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4

约去 $2 x - 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) - 2}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

解题步骤 1.4.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

解题步骤 1.4.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{2 x^{3}}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $\infty$ 且从右边趋于 $- \infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

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