初级微积分示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 2 x + 1}{x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{100} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{100} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{100}$ 的指数 $100$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{100} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{100} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{100} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{100} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{100} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{50} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{50} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{50}$ 的指数 $50$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{50} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{50} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{50} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{50} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{50} - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 2 x + 1}{x^{50} - 2 x + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{100} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{100} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{100} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{100}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{100}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 100$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $100 x^{99} - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{50} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x^{50} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{50}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{50}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 50$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} - 2 + 0}$

解题步骤 1.3.11

将 $50 x^{49} - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{100 x^{99} - 2}{50 x^{49} - 2}$

解题步骤 1.4

约去 $100 x^{99} - 2$ 和 $50 x^{49} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $100 x^{99}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99}) - 2}{50 x^{49} - 2}$

解题步骤 1.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99}) + 2 (- 1)}{50 x^{49} - 2}$

解题步骤 1.4.3

从 $2 (50 x^{99}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99} - 1)}{50 x^{49} - 2}$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $50 x^{49}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99} - 1)}{2 (25 x^{49}) - 2}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99} - 1)}{2 (25 x^{49}) + 2 (- 1)}$

解题步骤 1.4.4.3

从 $2 (25 x^{49}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99} - 1)}{2 (25 x^{49} - 1)}$

解题步骤 1.4.4.4

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (50 x^{99} - 1)}{2 (25 x^{49} - 1)}$

解题步骤 1.4.4.5

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{50 x^{99} - 1}{25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 50 x^{99} - 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 50 x^{99} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2.3

因为项 $50$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{50 lim_{x \to 1} x^{99} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $x^{99}$ 的指数 $99$ 移到极限外。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - 1}$

解题步骤 2.6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 25 x^{49} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 2.7

因为项 $25$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - 1 \cdot 1}{25 lim_{x \to 1} x^{49} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 2.8

使用极限幂法则把 $x^{49}$ 的指数 $49$ 移到极限外。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - 1 \cdot 1}{25 {(lim_{x \to 1} x)}^{49} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 2.9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{50 {(lim_{x \to 1} x)}^{99} - 1 \cdot 1}{25 {(lim_{x \to 1} x)}^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{50 \cdot 1^{99} - 1 \cdot 1}{25 {(lim_{x \to 1} x)}^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{50 \cdot 1^{99} - 1 \cdot 1}{25 \cdot 1^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{50 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{25 \cdot 1^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $50$ 乘以 $1$ 。

$\frac{50 - 1 \cdot 1}{25 \cdot 1^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{50 - 1}{25 \cdot 1^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.4

从 $50$ 中减去 $1$ 。

$\frac{49}{25 \cdot 1^{49} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{49}{25 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$\frac{49}{25 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{49}{25 - 1}$

解题步骤 4.2.4

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$\frac{49}{24}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{49}{24}$

小数形式：

$2.041\overline{6}$

初级微积分 示例

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