初级微积分示例

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.1.4

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

从 $7$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $49$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$\frac{0}{49 - 49}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $49$ 中减去 $49$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $2 - \sqrt{x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.4

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.10

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.14

将 $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x^{2} - 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.5

将 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x - 3}$ 。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.6

合并因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

将 $\frac{1}{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ 。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

解题步骤 2.8

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

解题步骤 3

将 $7$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

解题步骤 3.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

解题步骤 4.1.2

从 $7$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

解题步骤 4.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

解题步骤 4.3

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{14}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

解题步骤 4.3.2

将 $14$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{56}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{56}$

小数形式：

$- 0.01785714 \dots$

初级微积分 示例

初级微积分示例