初级微积分示例

$\sum_{11}^{54} 3 i + 6$

解题步骤 1

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{11}^{54} 3 i + 6 = \sum_{i = 1}^{54} 3 i + 6 - \sum_{i = 1}^{10} 3 i + 6$

解题步骤 2

计算 $\sum_{i = 1}^{54} 3 i + 6$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{54} 3 i + 6 = 3 \sum_{k = 1}^{54} i + \sum_{k = 1}^{54} 6$

解题步骤 2.2

计算 $3 \sum_{k = 1}^{54} i$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{54 (54 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $54$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{54 \cdot 55}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $54$ 乘以 $55$ 。

$3 (\frac{2970}{2})$

解题步骤 2.2.3.3

用 $2970$ 除以 $2$ 。

$3 \cdot 1485$

解题步骤 2.2.3.4

将 $3$ 乘以 $1485$ 。

$4455$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{54} 6$ 。

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解题步骤 2.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$(6) (54)$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 乘以 $54$ 。

$324$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$4455 + 324$

解题步骤 2.5

将 $4455$ 和 $324$ 相加。

$4779$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{10} 3 i + 6$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{10} 3 i + 6 = 3 \sum_{k = 1}^{10} i + \sum_{k = 1}^{10} 6$

解题步骤 3.2

计算 $3 \sum_{k = 1}^{10} i$ 。

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解题步骤 3.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$3 (\frac{110}{2})$

解题步骤 3.2.3.3

用 $110$ 除以 $2$ 。

$3 \cdot 55$

解题步骤 3.2.3.4

将 $3$ 乘以 $55$ 。

$165$

解题步骤 3.3

计算 $\sum_{k = 1}^{10} 6$ 。

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解题步骤 3.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.3.2

将值代入公式中。

$(6) (10)$

解题步骤 3.3.3

将 $6$ 乘以 $10$ 。

$60$

解题步骤 3.4

将求和的总和相加。

$165 + 60$

解题步骤 3.5

将 $165$ 和 $60$ 相加。

$225$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$4779 - 225$

解题步骤 5

从 $4779$ 中减去 $225$ 。

$4554$

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