初级微积分示例

$\sum_{7}^{233} 3 n - 2$

解题步骤 1

分解总和使 $n$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{7}^{233} 3 n - 2 = \sum_{n = 1}^{233} 3 n - 2 - \sum_{n = 1}^{6} 3 n - 2$

解题步骤 2

计算 $\sum_{n = 1}^{233} 3 n - 2$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{233} 3 n - 2 = 3 \sum_{n = 1}^{233} n + \sum_{n = 1}^{233} - 2$

解题步骤 2.2

计算 $3 \sum_{n = 1}^{233} n$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{233 (233 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $233$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{233 \cdot 234}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $233$ 乘以 $234$ 。

$3 (\frac{54522}{2})$

解题步骤 2.2.3.3

用 $54522$ 除以 $2$ 。

$3 \cdot 27261$

解题步骤 2.2.3.4

将 $3$ 乘以 $27261$ 。

$81783$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{n = 1}^{233} - 2$ 。

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解题步骤 2.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.3.2

将值代入公式中。

$(- 2) (233)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $233$ 。

$- 466$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$81783 - 466$

解题步骤 2.5

从 $81783$ 中减去 $466$ 。

$81317$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{6} 3 n - 2$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{6} 3 n - 2 = 3 \sum_{n = 1}^{6} n + \sum_{n = 1}^{6} - 2$

解题步骤 3.2

计算 $3 \sum_{n = 1}^{6} n$ 。

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解题步骤 3.2.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(3) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{6 \cdot 7}{2}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$3 (\frac{42}{2})$

解题步骤 3.2.3.3

用 $42$ 除以 $2$ 。

$3 \cdot 21$

解题步骤 3.2.3.4

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$63$

解题步骤 3.3

计算 $\sum_{n = 1}^{6} - 2$ 。

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解题步骤 3.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.3.2

将值代入公式中。

$(- 2) (6)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$- 12$

解题步骤 3.4

将求和的总和相加。

$63 - 12$

解题步骤 3.5

从 $63$ 中减去 $12$ 。

$51$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$81317 - 51$

解题步骤 5

从 $81317$ 中减去 $51$ 。

$81266$

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