初级微积分示例

$\sum_{i = 1}^{17} 1 + {(- 1)}^{i}$

解题步骤 1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{17} 1 + {(- 1)}^{i} = \sum_{k = 1}^{17} 1 + \sum_{k = 1}^{17} {(- 1)}^{i}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{17} 1$ 。

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解题步骤 2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2

将值代入公式中。

$(1) (17)$

解题步骤 2.3

将 $17$ 乘以 $1$ 。

$17$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{17} {(- 1)}^{i}$ 。

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解题步骤 3.1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 3.2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 3.2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{{(- 1)}^{i}}$

解题步骤 3.2.2

约去 ${(- 1)}^{i + 1}$ 和 ${(- 1)}^{i}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 ${(- 1)}^{i + 1}$ 中分解出因数 ${(- 1)}^{i}$ 。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i}}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- 1)}^{i} \cdot - 1}{{(- 1)}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 3.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$r = - 1$

解题步骤 3.3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 代入 ${(- 1)}^{i}$ 以替换 $i$ 。

$a = {(- 1)}^{1}$

解题步骤 3.3.2

计算指数。

$a = - 1$

解题步骤 3.4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$- \frac{1 - {(- 1)}^{17}}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{17}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{17}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{17}}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 17}}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5.1.1.2

将 $1$ 和 $17$ 相加。

$- \frac{1 + {(- 1)}^{18}}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5.1.2

对 $- 1$ 进行 $18$ 次方运算。

$- \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2}{1 - - 1}$

解题步骤 3.5.2

化简分母。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{1 + 1}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2}{2}$

解题步骤 3.5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1

约去公因数。

$- \frac{2}{2}$

解题步骤 3.5.3.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 3.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4

将求和的总和相加。

$17 - 1$

解题步骤 5

从 $17$ 中减去 $1$ 。

$16$

初级微积分 示例

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