初级微积分示例

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{8 x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 8 x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{8 lim_{x \to 1} x + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8 \cdot 1 + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{8 + 1}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{9}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分母。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)}$

初级微积分 示例

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