初级微积分示例

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 6

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7.1.4

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7.1.5

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

解题步骤 7.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

解题步骤 7.2.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

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