初级微积分示例

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

解题步骤 1

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为 $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.2

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.4

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

解题步骤 3.7

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 3.9

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.10

乘以 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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解题步骤 3.10.1

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3.10.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

解题步骤 3.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

解题步骤 3.11

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.4.1

约去公因数。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.11.4.2

重写表达式。

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

解题步骤 3.11.5

化简。

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

解题步骤 3.12

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.12.1

运用分配律。

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

解题步骤 3.12.2

运用分配律。

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

解题步骤 3.12.3

运用分配律。

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 3.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.13.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 3.13.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 3.13.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

解题步骤 3.13.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

解题步骤 3.13.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.1.5.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

解题步骤 3.13.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

解题步骤 3.13.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

解题步骤 3.13.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + 1 - x^{2}$

解题步骤 4

合并 $x^{2} + 1 - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

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