初级微积分示例

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

解题步骤 1

使用余弦的差公式化简表达式。该公式表述为 $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ 。

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.6.5

计算指数。

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.7

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.9

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 3.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 3.11

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 3.12

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 3.12.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.12.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.12.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.12.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 3.13

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 3.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 3.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 3.13.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

解题步骤 3.13.5

计算指数。

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

解题步骤 3.14

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.14.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

解题步骤 3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 3.14.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.14.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.14.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 1}{2}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{2}$

解题步骤 4.2.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$- 1$

初级微积分 示例

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