初级微积分示例

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

解题步骤 2.1.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.3.2

从 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 中减去 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

解题步骤 2.5

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.7

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 2.8

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 2.9

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 2.10

使用勾股恒等式。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2.11

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 2.11.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sin (x)}{1}$

解题步骤 2.11.2.4

用 $- \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 3

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ 是一个恒等式

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