初级微积分示例

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{3} + 7 n^{2}}{5 n^{3} - 7 n^{2} + 3}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $n$ 的最高次幂，即 $n^{3}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

约去 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4 n^{3}}{n^{3}} + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.1.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7 n^{2}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去 $n^{2}$ 和 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $7 n^{2}$ 中分解出因数 $n^{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $n^{3}$ 中分解出因数 $n^{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{n^{2} \cdot 7}{n^{2} n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7 n^{2}}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $n^{2}$ 和 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 7 n^{2}$ 中分解出因数 $n^{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{3}} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $n^{3}$ 中分解出因数 $n^{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{n^{2} \cdot - 7}{n^{2} n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 + \frac{- 7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{n}}{5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.3

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.4

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to \infty} 4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 + lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 2.6

因为项 $7$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - \frac{7}{n} + \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 4.2

计算 $5$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 4.3

因为项 $7$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^{3}}}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 + 7 \cdot 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 + 0}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.1.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{5 + 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 8.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{5 + 0 + 0}$

解题步骤 8.2.3

将 $5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5 + 0}$

解题步骤 8.2.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{5}$

小数形式：

$0.8$

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