初级微积分示例

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

解题步骤 2.2

对 $\csc (x)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

解题步骤 2.3

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2

将 $- \cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

解题步骤 3.3

将 $\sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.2

乘以 $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.4.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x)$

解题步骤 5

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ 是一个恒等式

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